واس
12-01-08, 09:31 PM
مقتطفات رياضية
المحتويات :
أولا : نظريات فيرما..........................
ثانيا : قابلية القسمة..........................
ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة
مقتطفات رياضية
أولا : نظريات فيرما :
نظرية فيرما المستعصية :
لا يوجد حل صحيح غير تافه للمعادلة : xn + yn = zn , حيث n > 2 .
ولقد حاول فيرما أن يقدم حلا لهذا الحدس ، حيث قدم برهانا لعدم وجود حل غير تافه للمعادلة :
x4 + y4 = z4 مستخدما طريقة تعرف اليوم بطريقة فيرما غير منتهية التناقض .
والجدير بالذكر أن فيرما لم يكن رياضيا بل كان محاميا هاويا ، وعلى الرغم من ذلك فقد أغنى فروعا كثيرة في الرياضيات ومن أهمها وضعه لنظرية الأعداد .
وبعد مضي فترة من الزمن استطاع عالم الرياضيات البريطاني أويلر برهنة النظرية ، والذي قدمها بصفحات عديدة كانت محل إعجاب الرياضيين عالميا ، كما أنه حصل على جائزة الملك فيصل العالمية ، ولوكانت جائزة نوبل تعطى في مجال الرياضيات لحصل عليها ، وقد قتل باليمن .
نظرية فيرما في التحليل :
تعتمد هذه النظرية على كتابة العدد على شكل فرق مربعين .
عندما يكون العدد فرديا فإننا نعمل كما في المثال التالي :
لتحليل العدد 6077 إلى عوامله الأولية ، نعمل الآتي :
(78)2 – 6077 = 7 ليس مربع كامل
(79)2 – 6077 = 164 * * *
(80)2 – 6077 = 323 * * *
(81)2 – 6077 = 484 = (22)2
6077 = (81)2 – (22)2 = (103) (59)
n = 2rm بينما لو كان العدد ن زوجيا فإننا نقسم 2/ن حتى نحصل على الصورة :
حيث m عدد فردي ، ثم نجري مثل ماسبق .
ثانيا : قابلية القسمة :
1) قابلية القسمة على قوى العدد 5 :
وهو مشابه لقابلية القسمة على قوى العدد 2 لأن 2 × 5 = 10
مثال : قرر فيما إذا كان العدد 105117213127625 يقبل القسمة على العدد 125 ؟
الحل : 125 = 53 ، نختبر آخر ثلاث مراتب ونلاحظ :625 يقبل القسمة على 53 إذن العدد المطلوب يقبل القسمة على 125
2) قابلية القسمة على العدد 11 :
n ≡ (-1) mod 11 (10)
مثال : قرر هل العدد 723160823 يقبل القسمة على 11 أم لا ؟
الحل : (3-2) + (8-0) + (6-1) + (3-2) + (7-0) = 22
وبما أن 22 تقبل القسمة على 11 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 11 .
3) قابلية القسمة على 7 ، 11 ، 13 :
بما أن 7 × 11 × 13 = 1001 فإن n ≡ (-1)n mod 1001 (103)
مثال : هل العدد 59358208 يقبل القسمة على 7 ، 11 ، 13 ؟
الحل : (208) - (358) + (059) = -91
العدد - 91 يقبل القسمة على 7 ، 13 بينما لايقبل القسمة على 11
إذن العدد المعطى يقبل القسمة على 7 ، 13 ولا يقبل القسمة على 11 .
4) قابلية القسمة على 13 :
يقبل العدد القسمة على 13 إذا كان ناتج ك أدناه يقبل القسمة على 13 .
ك = (4ح + ع - 3م) - (4ح ف + ع ف - 3م ف ) + ( ....) - (.....) + ....
حيث : ح : آحاد ، ع : عشرات ، م : مئات ،ف : ألوف .
مثال : هل العدد : 2734056 يقبل القسمة على 13 ؟
الحل : ك = (4×6 + 5 - 3 × 0) - (4×4 + 3 - 3×7) + (4×2) = 39
وبما أن 39 يقبل القسمة على 13 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 13 .
ملحوظة : هذه ليست قاعدة متفق عليها .
ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة :
1) الدوال التحليلية :
إذا كانت الدالة F معرفة في جوار النقطة Z1 بحيث F قابلة للإشتقاق في Z1 وفي جوار لـ Z1 عندئذ تسمى F دالة تحليلية في Z1 .
ملحوظة : في التبولوجيا ، جوار نقطة Z1 هي مجموعة على الهيئة {Z : |Z - Z1| 0}
Z1= X1 + i Y1 , ويرمز لها بالرمز : (D(Z1, e , حيث X1 , Y1 أعداد حقيقية .
مثال : F(z) = 2z2 - 3z + i
دالة تحليلية لكل عدد مركب ، لأنها قابلة للاشتقاق عند كل نقطة z في حقل الاعداد المركبة .
2) الدوال التوافقية (Harmonic Function) :
إذا كانت (U(x,y دالة معرفة على نطاق D بحيث أنها ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية متصلة في D وكانت تحقق معادلة لابلاس (Laplace : Uxx + Uyy = 0) .
عندئذ تسمى (U(x,y دالة توافقية في D .
مثال : الدالة F(z) =z3 = (x+iy)3 دالة توافقية لأن :
F(z) = x3-3xy2 + i(3x2y) - iy3
= (x3 - 3xy2) + i(3x2y-y3)
= (U(x,y) + i V(x,y
وكل من الدالتين U , V دالتين توافقيتين في جميع نقط مجموعة الأعداد المركبة (جميع رتب المشتقات لكل منهما موجودة ومتصلة في D ) .
3) الدالة الأسية :
F(z) = ez = ex + iy
= (ex (cos y + i sin y , الدالة معرفة لكل Z في الاعداد المركبة .
4) الدوال المئلئية :
SIN(Z) =eiz - e-iz / 2i , COS(Z) =eiz + e-iz / 2 .
(TAN(Z) =SIN(Z) / COS(Z) , COT(Z) = 1 / TAN(Z .
(SEC(Z) = 1 / COS(Z) , CSC(Z) = 1 / SIN(Z .
ملحوظة : المتطابقات المثلثية في المتغير الحقيقي تسري للدوال المثلثية في المتغير المركب .
5) الدوال الزائدية :
SINh(Z) =ez - e-z / 2 , COSh(Z) =ez + e-z / 2 .
(TANh(Z) =SINh(Z) / COSh(Z) , COTh(Z) = 1 / TANh(Z .
(SECh(Z) = 1 / COSh(Z) , CSCh(Z) = 1 / SINh(Z .
ملحوظة : المتطابقات للدوال الزائدية الحقيقية تبقى صحيحة للدوال الزائدية المركبة .
6) الدوال اللوغاريتمية :
Log(z) = Log(r) + iQ , r = |z| , Q =Arg(z) , z # 0 .
ملحوظة : - (Arg(z تعني قيم الزاوية Q .
- تعارف المتخصصون على أن Log تدل على Ln
المحتويات :
أولا : نظريات فيرما..........................
ثانيا : قابلية القسمة..........................
ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة
مقتطفات رياضية
أولا : نظريات فيرما :
نظرية فيرما المستعصية :
لا يوجد حل صحيح غير تافه للمعادلة : xn + yn = zn , حيث n > 2 .
ولقد حاول فيرما أن يقدم حلا لهذا الحدس ، حيث قدم برهانا لعدم وجود حل غير تافه للمعادلة :
x4 + y4 = z4 مستخدما طريقة تعرف اليوم بطريقة فيرما غير منتهية التناقض .
والجدير بالذكر أن فيرما لم يكن رياضيا بل كان محاميا هاويا ، وعلى الرغم من ذلك فقد أغنى فروعا كثيرة في الرياضيات ومن أهمها وضعه لنظرية الأعداد .
وبعد مضي فترة من الزمن استطاع عالم الرياضيات البريطاني أويلر برهنة النظرية ، والذي قدمها بصفحات عديدة كانت محل إعجاب الرياضيين عالميا ، كما أنه حصل على جائزة الملك فيصل العالمية ، ولوكانت جائزة نوبل تعطى في مجال الرياضيات لحصل عليها ، وقد قتل باليمن .
نظرية فيرما في التحليل :
تعتمد هذه النظرية على كتابة العدد على شكل فرق مربعين .
عندما يكون العدد فرديا فإننا نعمل كما في المثال التالي :
لتحليل العدد 6077 إلى عوامله الأولية ، نعمل الآتي :
(78)2 – 6077 = 7 ليس مربع كامل
(79)2 – 6077 = 164 * * *
(80)2 – 6077 = 323 * * *
(81)2 – 6077 = 484 = (22)2
6077 = (81)2 – (22)2 = (103) (59)
n = 2rm بينما لو كان العدد ن زوجيا فإننا نقسم 2/ن حتى نحصل على الصورة :
حيث m عدد فردي ، ثم نجري مثل ماسبق .
ثانيا : قابلية القسمة :
1) قابلية القسمة على قوى العدد 5 :
وهو مشابه لقابلية القسمة على قوى العدد 2 لأن 2 × 5 = 10
مثال : قرر فيما إذا كان العدد 105117213127625 يقبل القسمة على العدد 125 ؟
الحل : 125 = 53 ، نختبر آخر ثلاث مراتب ونلاحظ :625 يقبل القسمة على 53 إذن العدد المطلوب يقبل القسمة على 125
2) قابلية القسمة على العدد 11 :
n ≡ (-1) mod 11 (10)
مثال : قرر هل العدد 723160823 يقبل القسمة على 11 أم لا ؟
الحل : (3-2) + (8-0) + (6-1) + (3-2) + (7-0) = 22
وبما أن 22 تقبل القسمة على 11 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 11 .
3) قابلية القسمة على 7 ، 11 ، 13 :
بما أن 7 × 11 × 13 = 1001 فإن n ≡ (-1)n mod 1001 (103)
مثال : هل العدد 59358208 يقبل القسمة على 7 ، 11 ، 13 ؟
الحل : (208) - (358) + (059) = -91
العدد - 91 يقبل القسمة على 7 ، 13 بينما لايقبل القسمة على 11
إذن العدد المعطى يقبل القسمة على 7 ، 13 ولا يقبل القسمة على 11 .
4) قابلية القسمة على 13 :
يقبل العدد القسمة على 13 إذا كان ناتج ك أدناه يقبل القسمة على 13 .
ك = (4ح + ع - 3م) - (4ح ف + ع ف - 3م ف ) + ( ....) - (.....) + ....
حيث : ح : آحاد ، ع : عشرات ، م : مئات ،ف : ألوف .
مثال : هل العدد : 2734056 يقبل القسمة على 13 ؟
الحل : ك = (4×6 + 5 - 3 × 0) - (4×4 + 3 - 3×7) + (4×2) = 39
وبما أن 39 يقبل القسمة على 13 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 13 .
ملحوظة : هذه ليست قاعدة متفق عليها .
ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة :
1) الدوال التحليلية :
إذا كانت الدالة F معرفة في جوار النقطة Z1 بحيث F قابلة للإشتقاق في Z1 وفي جوار لـ Z1 عندئذ تسمى F دالة تحليلية في Z1 .
ملحوظة : في التبولوجيا ، جوار نقطة Z1 هي مجموعة على الهيئة {Z : |Z - Z1| 0}
Z1= X1 + i Y1 , ويرمز لها بالرمز : (D(Z1, e , حيث X1 , Y1 أعداد حقيقية .
مثال : F(z) = 2z2 - 3z + i
دالة تحليلية لكل عدد مركب ، لأنها قابلة للاشتقاق عند كل نقطة z في حقل الاعداد المركبة .
2) الدوال التوافقية (Harmonic Function) :
إذا كانت (U(x,y دالة معرفة على نطاق D بحيث أنها ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية متصلة في D وكانت تحقق معادلة لابلاس (Laplace : Uxx + Uyy = 0) .
عندئذ تسمى (U(x,y دالة توافقية في D .
مثال : الدالة F(z) =z3 = (x+iy)3 دالة توافقية لأن :
F(z) = x3-3xy2 + i(3x2y) - iy3
= (x3 - 3xy2) + i(3x2y-y3)
= (U(x,y) + i V(x,y
وكل من الدالتين U , V دالتين توافقيتين في جميع نقط مجموعة الأعداد المركبة (جميع رتب المشتقات لكل منهما موجودة ومتصلة في D ) .
3) الدالة الأسية :
F(z) = ez = ex + iy
= (ex (cos y + i sin y , الدالة معرفة لكل Z في الاعداد المركبة .
4) الدوال المئلئية :
SIN(Z) =eiz - e-iz / 2i , COS(Z) =eiz + e-iz / 2 .
(TAN(Z) =SIN(Z) / COS(Z) , COT(Z) = 1 / TAN(Z .
(SEC(Z) = 1 / COS(Z) , CSC(Z) = 1 / SIN(Z .
ملحوظة : المتطابقات المثلثية في المتغير الحقيقي تسري للدوال المثلثية في المتغير المركب .
5) الدوال الزائدية :
SINh(Z) =ez - e-z / 2 , COSh(Z) =ez + e-z / 2 .
(TANh(Z) =SINh(Z) / COSh(Z) , COTh(Z) = 1 / TANh(Z .
(SECh(Z) = 1 / COSh(Z) , CSCh(Z) = 1 / SINh(Z .
ملحوظة : المتطابقات للدوال الزائدية الحقيقية تبقى صحيحة للدوال الزائدية المركبة .
6) الدوال اللوغاريتمية :
Log(z) = Log(r) + iQ , r = |z| , Q =Arg(z) , z # 0 .
ملحوظة : - (Arg(z تعني قيم الزاوية Q .
- تعارف المتخصصون على أن Log تدل على Ln